一致收斂的柯西準(zhǔn)則_一致收斂
              2023-07-03 17:51:33 來源:

              1、在數(shù)學(xué)中,一致收斂性(或稱均勻收斂)是函數(shù)序列的一種收斂定義。

              2、其概念可敘述為函數(shù)列 fn一致收斂至函數(shù) f 代表所有的 x,fn(x) 收斂至 f(x) 有相同的收斂速度。

              3、由于它較逐點(diǎn)收斂更強(qiáng),故能保持一些重要的分析性質(zhì),例如連續(xù)性、黎曼可積性。


              (資料圖片)

              4、定義設(shè)為一集合,為一度量空間。

              5、若對(duì)一函數(shù)序列,存在滿足對(duì)所有,存在,使得則稱一致收斂到。

              6、最常用的是的情形,此時(shí)條件寫成對(duì)所有,存在,使得注意到,一致收斂和逐點(diǎn)收斂定義的區(qū)別在于,在一致收斂中僅與相關(guān),而在逐點(diǎn)收斂中還與相關(guān)。

              7、所以一致收斂必定逐點(diǎn)收斂,而反之則不然。

              8、例子在[-1,1]上一致收斂到絕對(duì)值函數(shù)的多項(xiàng)式序列例子一:對(duì)任何上的連續(xù)函數(shù),考慮多項(xiàng)式序列可證明在區(qū)間上一致收斂到函數(shù)。

              9、其中的稱為伯恩斯坦多項(xiàng)式。

              10、透過坐標(biāo)的平移與縮放,可知在任何閉區(qū)間上都能用多項(xiàng)式一致地逼近連續(xù)函數(shù),這是斯通-維爾斯特拉斯定理的一個(gè)建構(gòu)性證明。

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